1. Трое игроков в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и две карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 - не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырёх и берёт себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит две бубновых карты.
2.В магазин поступает минеральная вода в бутылках от 2-х изготовителей: местного и иногороднего, причём местный поставляет 40% всей продукции. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется разбитой, для местной 0,5%, а иногородней 2%. Какова вероятность того, что взятая наудачу бутылка окажется неразбитой. Какова ожидаемая доля (в %) разбитых бутылок.
3. (Задача Банаха). Спички в полной коробке отсырели и зажигаются с вероятностью 0,5. Друзья по очереди пытаются зажечь спичку. Какова вероятность того, что это удастся первым сделать первому?
4. В партии арбузов 80% спелых, остальные недоспелые. Наугад отобраны четыре арбуза.
Какова вероятность того, что среди них: а) не менее 3-х спелых; б) не все спелые.
5. Вероятность появления события А в опыте равна 0,2. Опыт повторили независимым образом 400 раз. Какова вероятность того, что это событие А произойдёт: а) 70 раз; б) 80 раз; в) не менее 70, но не более 90 раз; г) не менее 78 раз; д) не более 78 раз.
i
|
1
|
2
|
3
|
Ei
|
2
|
4
|
6
|
σi
|
1
|
3
|
5
|
6. Инвестор имеет возможность составить портфель из трех видов некоррелированных бумаг, эффективности Е, и риски ф которых даны в таблице. Рассмотрите все варианты составления портфеля из этих бумаг равными долями. Дать графическое изображение всех этих портфелей точками (по осям координат - эффективность, риск). Есть ли точки, оптимальные но Парето?
7. Изучение ежедневных изменений цен на двух финансовых рынках выявило следующее:
Рынок 1
|
Рост цен
|
Падение цен
|
Рост цен
|
165
|
26
|
Падение цен
|
32
|
137
|
Рассчитайте вероятности:
а) роста цен на рынке 1;
б) роста цен на рынке 1 при условии, что цены на рынке 2 растут;
в) роста цен на рынке 2 при условии, что цены на рынке 1 растут.
8. В таблице указано количество машин, которые «КТК» имеет в каждом из своих шести региональных отделений. Ниже показана среднемесячный отделений в 1997 г.
|
Ньюкасл
|
Саутгемптон
|
Кардифф
|
Данди
|
Ланкастер
|
Бирмингем
|
Кол-во машин
|
30
|
40
|
35
|
38
|
50
|
47
|
Средний доход (100тыс.ф.ст)
|
7,1
|
8
|
6,8
|
7,3
|
9,1
|
9,4
|
а) Вычислите коэффициент корреляции между количеством машин и месячным доходом отделений «КТК». Прокомментируйте значимость этого значения.
б) определите уравнение регрессии, соотносящее эти две переменные, и с его помощью оцените среднемесячный доход предлагаемого к открытию седьмого отделения с парком из 20 машин. Прокомментируйте пригодность данной оценки. Какие дополнительные факторы могут повлиять на точность и надежность такого рода прогнозов?
9. Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирмами. Для проверки эффекта в случайном порядке была отобрана группа из 400 детей, которые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зубной пасты, После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты? Принять уровень значимости а = 0,05.
10. Врач-исследователь выясняет зависимость площади пораженной части легких у людей, заболевших эмфиземой легких, от числа лет курения. Статистические данные, собранные им в некоторой области, имеют следующий вид:
Число лет курения
|
25
|
36
|
22
|
15
|
48
|
39
|
42
|
41
|
28
|
33
|
Площадьпораженной
части легкого, %
|
55
|
60
|
50
|
30
|
75
|
70
|
70
|
55
|
30
|
35
|
Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при а = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если человек курил 30 лет, то сделайте прогноз о степени поражения легких у случайно выбранного пациента, больного эмфиземой.
|