1.   Пятизначное число образовано при помощи перестановки цифр 44433. Все размещения равнозначны. Найти вероятность того, что все тройки стоят рядом при условии, что полученное число четное.

2.   На вечеринке за круглым столом рассаживаются случайным образом 11 человек. Найдите вероятность того, два конкретных человека окажутся сидящими: а) рядом; б) через одного человека.

3.   Успешно написали контрольную 30% студентов. Вероятность правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0,8 для остальных - 0,4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность того, что он плохо написал контрольную?

4.   Покупатель, зашедший в секцию сувениров, делает покупку с вероятностью 1А. Найти вероятность того, что из четырех покупателей: а) сделает покупку хотя бы один; б) сделают покупки ровно два.

5.   Вероятность того, что деталь не проверялась в ОТК равна р = 0,2. Найдите вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется: а) от 70 до 100 деталей, не проверенных в ОТК; б) ровно 80 деталей, не проверенных в ОТК.

6.   В таблице указаны курс акций Е и эффективность рынка F на протяжении ряда кварталов. Найдите регрессию курса акций на эффективность рынка, а также оценки характеристик акций: «собственной» вариации v и α, β,

 R² (эффективность безрисковых вложений равна 6).

7.   Управляющий портфелем заботится о том, чтобы не осуществлять инвестиционные вложения в ценные бумаги с дисперсией годовой доходности более чем 0,04. Выборка из 52 наблюдений за доходом по активу "А" показала, что дисперсия равна 0,045. Проверьте гипотезу, что доход по активу "А" характеризуется дисперсией, меньшей или равной 0,04.

8.   Вероятность поступления в приёмный покой клиники Св. Иосифа пациента в любую данную минуту составляет 0,4.

1)   Определить вероятность того, что за две последовательные минуты:

а) не поступит ни одного пациента;

б) пациент поступит только во вторую минуту;

в) пациент поступит в обе минуты;

г) поступит только один пациент.

2) Дежурный по приёмному покою на пять минут оставляет своё рабочее место для решения административного вопроса. Какова вероятность того, что по возвращению его будут ожидать пациенты?

9.   Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95 % выпускаемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости а = 0,05.

10. Перед сдачей экзамена в конце семестра в 20 группах студентов университета проведен опрос о том, какую оценку по сдаваемым в сессию курсам они ожидают получить. После сессии средние полученные оценки были сопоставлены со следующими ожидаемыми. Результаты приведены в таблице:

  Рассчитайте линейный коэффициент корреляции Пирсона, оцените его значимость при а = 0,05.

1. В ящике 4 голубых и 5 красных носков. Из ящика наугад вынимают 2 носка. Найдите вероятность того, что эти носки разного цвета.

2.   Предположим, что вероятность для мужчины дожить до 30 лет равна 4/5, а вероятность его жены дожить до 30 лет равна 5/6. Найдите вероятность того, что до 30 лет доживут: а) оба; б) только мужчина; в) только женщина; г) ни мужчина ни женщина; д) хотя бы один из них.

3.   В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашаются наугад три студента. Найти вероятность того, что они получат оценки: отлично, хорошо, удовлетворительно (в любом порядке).

4.   Обреченным на смерть пациентам в качестве последнего шанса можно предложить опасную операцию, в результате которой выживают 80% всех оперированных. Какова вероятность того, что ровно 80% из пяти оперированных пациентов выживут.

5.   Проводятся последовательные испытания по схеме Бернулли. Вероятность осуществления события А в одном испытании равна 0,6. Вычислить вероятность следующих событий: а) Событие а произойдет в большинстве из 60 испытаний; б) Число успешных осуществлений события А в 60 испытаниях заключено между 30 и 42; в) Событие А осуществляется 36 раз в 60 испытаниях.

6.   Сформируйте оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности единице, и некоррелированных рисковых ожидаемых эффективностей 3 и 5 с рисками 2 и 4 соответственно. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции «short sale» и с какими ценными бумагами?

7.   Компания ABC Fund Managers Pie заявила, что месячный доход по ее высокодоходному инвестиционному фонду превысил доход индекса на 0,3%, или на 0,003. В течение одногодичного периода средний доход по индексу составил 0,005, а средний доход фонда — 0,0065, среднее квадратическое отклонение равно 0,019. Выполните одностороннюю статистическую проверку, чтобы выяснить, насколько верно заявление компании.

8.   Промышленная группа «Уокер энд Шмидт» наняла менеджера по управлению риском, с тем чтобы тот оценил риски, связанные с рядом действий, и разработал защитные варианты на случай возникновения серьёзных осложнений. Для выполнения поставленной задачи менеджер должен рассмотреть ряд потенциально неблагоприятных исходов, которые могут повлиять на деятельность компании, особенно в том, что касается вопросов производства и транспортировки. В связи с этим менеджер оценивает вероятность наступления некоторых событий с целью выработки приоритетов в отношении требуемых защитных мер.

1)   Менеджер установил, что вероятность серьёзного пожара который приводит к остановке производства, в любой данный месяц составляет около 2%. Это считается неприемлемым, что подтверждается рассмотрением следующих вероятностей. Определите вероятность, что пожаров не будет:

а) в течение 3-х месяцев;

б) в течение 6-ти месяцев;

в) в течение 2-х лет. Каковы выводы для компании по данной ситуации?

2)   Вероятность взлома или кражи товаров в любую данную неделю составляет 1%. Какова вероятность того, что:

а) в течение четырёх недель взломов не будет;

б) в течение четырёх недель будет зафиксирован по меньше мере один взлом.

9.   Компания, занимающаяся консультированием в области инвестиций, заявляет, что среднегодовой процент по акциям определенной отрасли промышленности составляет 11,5 %. Инвестор, желая проверить истинность этого утверждения, на основе случайной выборки 50 акций выявил, что среднегодовой процент по ним составил 10,8% с исправленным средним квадратическим отклонением s = 3,4 %. На основе имеющейся информации определите, имеет ли инвестор достаточно оснований, чтобы опровергнуть заявление компании? Принять уровень значимости а = 0,05.

10.   Следующие данные получены из случайной выборки по оборотам 8 годовых консолидированных балансов. Цифры в таблице показывают объем продаж, тыс. шт., и цену единицы товара, руб.

  Рассчитайте выборочные коэффициент корреляции Пирсона между объемом продаж и ценой товара. Проверьте значимость коэффициента корреляции для а = 0,05.

1.   Трехзначное число образовано случайным выбором трех неповторяющихся цифр из числа цифр 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что это число четное? Нечетное? Что оно делится на 5?

2.   Результаты экзаменов в ТГУ показывают, что 10% учащихся не смогли сдать ТВ и МС, 12% математический анализ, и 20% провалили экзамены как по ТВ и МС, так и по математическому анализу. Наугад выбирается один студент. Будут ли события «Этот студент не сдал ТВ и МС» и «Этот студент не сдал математический анализ» независимыми.

3.   Служащий, работающий в Тюмени, может возвращаться домой: I) либо через мост по улице «Челюскинцев», II) либо мостом по улице «Профсоюзной». Он ездит по-разному, в 1/3 всех случаев выбирая мост по улице «Челюскинцев», а в 2/3 случаев мост по улице «Профсоюзной». Если он едет путем I, то в 75% случаев он возвращается домой к 6 часам вечера, если же он добирается путем II, то только в 70% случаев он возвращается к 6 часам вечера, однако последняя дорога ему больше нравится. Если он возвращается домой после 6 часов вечера, то какова вероятность того, что он добирался путемII.

4.   Три кандидата участвуют в выборах на три различные должности в разных городах. Шансы оказаться избранными для каждого из них равны 1:3. Какова вероятность того, что будет избран по крайней мере один из них?

5.   Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что 800 посеянных семян взойдет не менее 700.

6.   Инвестор имеет возможность составить портфель из трех видов некоррелированных бумаг, эффективности Ej и риски  σ_i; которых даны в таблице. Рассмотрите все варианты составления  портфеля из этих бумаг равными долями. Дайте графическое изображение всех этих портфелей точками (по осям координат — эффективность, риск). Есть ли точки, оптимальные по Парето?  

7. Выборка из 25 еженедельных наблюдений за доходами по индексу FTSE 100 характеризуется средней 0,005 и средним квадратическим отклонением 0,02. Предположив, что недельные доходы нормально распределены, найдите 95%-ный доверительный интервал для среднего квадратического отклонения недельных доходов.

8.  Станки, используемые в основной производственной зоне компании «Уокер энд Шмидт», производят оценочно готовой продукции на 300 000 долл. США в день каждый. Отсюда видно, что остановка одного из станков на продолжительное время может нанести компании серьёзный ущерб. Вероятность того, что какой-то станок встанет в любой день, оценивается равной 0,03. У компании в наличии пять таких станков.

1) С помощью биноминального распределения определите вероятность того, что в любой данный день:

а) не сломается ни один из станков;

б) только один станок сломается;

в) по меньшей мере два станка выйдет из строя.

2) В среднем в компании два небольших несчастных случая на производстве в месяц. С помощью распределения Пуассона оцените вероятность того, что в любой данный месяц число небольших несчастных случаев составит:

а) менее двух;

б) более трёх.

9.    В 1996 г. годовой оборот 4 бирж в регионе А составил 12 · 104 у. е.; в регионе В годовой оборот 5 бирж – 125 · 103 у. е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной

3 · 104(у. е.) 2, а в регионе В - 2 · 104     (у. е.) 2. Можно ли на уровне значимости а = 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В?

10.   Семь вновь принятых сотрудников брокерской компании проходят аттестацию в конце испытательного периода. Результаты их работы оцениваются путем сдачи теста на профессиональную пригодность и по отдаче с каждого инвестированного ими рубля. Результаты молодых специалистов были ранжированы следующим образом:

  Вычислите коэффициент корреляции рангов Спирмена, оцените его значимость.

1.   Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличаются. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?

2.   Из 12 лотерейных билетов, среди которых есть 4 выигрышных, наудачу берут 6. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выигрышный.

3.   60% учащихся в школе - мальчики, 80% мальчиков и 75% девочек имеют билеты на школьный вечер. В школьное бюро находок принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что он принадлежал девочке? Мальчику?

4.   Найдите вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей две нестандартные, если вероятность деталей быть стандартной 0,9.

5.   Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности следующих событий: а) в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок; б) будет сделано ровно 7 ошибок.

6.   Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности, равной четырем, и некоррелированных рисковых ожидаемых эффективностей 8 и 20 с риска ми 4 и 10 соответственно. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции «short sale», и с какими ценными бумагами?

7.   Выборка из 25 еженедельных наблюдений за доходами по индексу FTSE 100 характеризуется средней 0,005 и средним квадратическим отклонением 0,02. Предположив, что недельные доходы нормально распределены, рассчитайте 95%-ный доверительный интервал для средней доходности.

8.   Компания «Зендалл» производит и сбывает товары для дома, в том числе различные моющие порошки, Недавно компания разработала новое моющее средство и теперь хочет организовать его продвижение на рынок. По оценкам компании, рекламная компания товара, приблизительной стоимостью в 2 млн. ф. ст., обеспечит ему 80% шансов на успех. По результатам маркетингового исследования компания оценивает, что с такой рекламной поддержкой товар может принести доход в сумме 6 млн. ф. ст.; если же товар провалится, то доход составит только 1.5 млн. ф. ст. Результаты исследования, а также опыт запуска товаров говорят о том, что без такой рекламной поддержки вероятность успеха составит только 40%. Также без предварительной рекламной компании товар даже в случае успеха на рынке принесет доход, равный только 4,5 млн.ф. ст., а в случае про­вала – 0,7 млн. ф. ст.

С помощью дерева решений дайте компании совет относительно того, начинать рекламную компанию или нет.

9.   Доля убыточных предприятий в промышленности в целом по России в 1995 г. составила 26 %, а в Ростовской области – 27 %. В 1995 г. в Ростовской области насчитывалось 7 579 промышленных предприятий. На уровне значимости а = 0,05 определите, являются ли различия в удельном весе убыточных промышленных предприятий в России и в Ростовской области случайными или в Ростовской области действует комплекс экономических условий, обусловливающих повышенную долю нерентабельных предприятий?

  10.   Определите тесноту связи общего веса некоторого растения (Х, г) и веса его семян (Y, г) на основе следующих выборочных данных:

 Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при а = 0,05. Постройте линейное уравнение регрессии и объясните его.

1.   Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличаются. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей?

2.   Из 12 лотерейных билетов, среди которых есть 4 выигрышных, наудачу берут 6. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выигрышный.

3.   60% учащихся в школе - мальчики, 80% мальчиков и 75% девочек имеют билеты на школьный вечер. В школьное бюро находок принесли кем-то потерянный билет. Какова вероятность того, что он принадлежал девочке? Мальчику?

4.   Найдите вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей две нестандартные, если вероятность деталей быть стандартной 0,9.

5.   Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности следующих событий: а) в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок; б) будет сделано ровно 7 ошибок.

6.   Сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности, равной четырем, и некоррелированных рисковых ожидаемых эффективностей 8 и 20 с риска ми 4 и 10 соответственно. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции «short sale», и с какими ценными бумагами?

7.   Выборка из 25 еженедельных наблюдений за доходами по индексу FTSE 100 характеризуется средней 0,005 и средним квадратическим отклонением 0,02. Предположив, что недельные доходы нормально распределены, рассчитайте 95%-ный доверительный интервал для средней доходности.

8.   Компания «Зендалл» производит и сбывает товары для дома, в том числе различные моющие порошки, Недавно компания разработала новое моющее средство и теперь хочет организовать его продвижение на рынок. По оценкам компании, рекламная компания товара, приблизительной стоимостью в 2 млн. ф. ст., обеспечит ему 80% шансов на успех. По результатам маркетингового исследования компания оценивает, что с такой рекламной поддержкой товар может принести доход в сумме 6 млн. ф. ст.; если же товар провалится, то доход составит только 1.5 млн. ф. ст. Результаты исследования, а также опыт запуска товаров говорят о том, что без такой рекламной поддержки вероятность успеха составит только 40%. Также без предварительной рекламной компании товар даже в случае успеха на рынке принесет доход, равный только 4,5 млн.ф. ст., а в случае про­вала – 0,7 млн. ф. ст.

С помощью дерева решений дайте компании совет относительно того, начинать рекламную компанию или нет.

9.   Доля убыточных предприятий в промышленности в целом по России в 1995 г. составила 26 %, а в Ростовской области – 27 %. В 1995 г. в Ростовской области насчитывалось 7 579 промышленных предприятий. На уровне значимости а = 0,05 определите, являются ли различия в удельном весе убыточных промышленных предприятий в России и в Ростовской области случайными или в Ростовской области действует комплекс экономических условий, обусловливающих повышенную долю нерентабельных предприятий?

  10.   Определите тесноту связи общего веса некоторого растения (Х, г) и веса его семян (Y, г) на основе следующих выборочных данных:

 Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при а = 0,05. Постройте линейное уравнение регрессии и объясните его.

1. Буквы слова ПОКОЛЕНИЕ выписаны на карточках. Наудачу вынимают одну карточку за другой и укладывают по порядку. Найти вероятность того, что получится слово ПОЛЕ.

2.   Из десяти билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный.

3.   В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

4.   Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми автомашин, а их имеется десять. Вероятность не выхода каждой автомашины на линии равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы в ближайший день.

5.   Игральный кубик подбрасывают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет: а) не менее 260 и не более 274 раз; б) ровно 300 раз.

6.   Инвестор имеет возможность составить портфель из трех видов   некоррелированных бумаг,      j      1   2   3 эффективности ej и риски dj которых даны в таблице. Рассмотрите все варианты составления Е портфеля из этих бумаг равными долями. Дать графическое изображение всех этих портфелей as точками (по осям координат - эффективность, риск). Есть ли точки, оптимальные по Парето?

7.   20 наблюдений ежедневных доходов по индексу FTSE 100: -0,43 -0,13 -0,38 -0,50 -0,68 0,84 -0,05 -0,53 -0,04 -0,351,07 0,58-0,75 0,26-0,04 0,68-0,51 0,71-0,12 0,02

Используя эти данные, рассчитайте 95%-ный доверительный интервал для выборочной средней и выборочного среднего квадратического отклонения. Повторите расчеты для 90%-ного доверительного интервала. Сравните длины этих доверительных интервалов. Заметьте, что чем меньше степень доверия, тем больше точность, и наоборот.

8.   В компании «Даунбрукс» 65 персонала - менеджеры, 10% - администраторы и 30% связаны с реализацией. Остальные заняты на производстве. Если произвольно выбрать двух работников из общего списка, то какова вероятность того, что:

а) оба окажутся менеджерами;

б) никто из них не занимается реализацией;

в) только один занят на производстве;

г) только один не является администратором;

д) один - менеджер, а другой занимается реализацией.

9. Производители нового типа аспирина утверждают, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 чел., страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверьте на уровне значимости а = 0,05 справедливость утверждения производителей аспирина о том, что это лекарство излечивает головную боль за 30 мин. 

10. Определите тесноту связи выпуска продукции (Х, тыс. шт.) и себестоимости единицы изделия  (Y, тыс. руб.) на основе следующих данных:

  Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции при а = 0,05. Постройте уравнение линейной регрессии и объясните его.

Х

1

2

3

4

5

Y

2

4

5

8

10

1.   В течение пяти дней случайным образом поступают сообщения о банкротстве одного из 5 банков, назовём их условно А, В, С, D, Е. Какова вероятность того, что сообщения о банкротстве банков А и В не следуют друг за другом?

2.   На семи карточках написаны буквы Л, Л, О, О, О, Т, Т. Из них последовательно выбираются 4 и кладутся слева направо. Какова вероятность того, что в результате образуется слово «ЛОТО»?

3.   Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причём первый изготовил 35% всех деталей, второй 40%, третий - всю остальную продукцию. Брак в их продукции составляет у первого - 2%, у второго - 3%, у третьего - 4%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена третьим рабочим?

4.   Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов: а) выиграет по двум билетам; б) выиграет по трём билетам; в) не выиграет по двум билетам?

5.   Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Какова вероятность того, что среди 500 приборов: а) окажется от 410 до 430 (включительно) точных; б) окажется ровно 400 точных?

6.   Инвестор может формировать портфель из различных видов ценных бумаг, нормы прибыли по которым являются случайными величинами Xl,...,Xn, MXl =ai, DXl =σ2, cov(XitXj) = Q, i ≠j. Определить доли вложения капитала ,,, в различные ценные бумаги, обеспечивающие среднюю норму а=10 и минимизирующие дисперсию нормы прибыли портфеля X =    на основе следующих данных:

7.   Поступление информации на торговую площадку в течение напряженного торгового периода подчиняется распределению Пуассона с математическим ожиданием 3,5 сообщения в минуту. Какова вероятность того, что в течение следующей минуты:

а) не поступит ни одного сообщения;

б) поступит по крайней мере одно сообщение;

в) поступят два сообщения; г) поступят четыре сообщения.

Какова вероятность поступления более 20 сообщений в течение 5 минут? Посмотрите, насколько близко к этому результату был бы получен ответ при использовании приближения к нормальному освоению.

8.   Число отсутствующих на работе работников в среднем составляет 3 человека в день. Невыходы на работу в компании носят случайный характер. С помощью распределения Пуассона определите вероятность того, что в любой данный день число отсутствующих будет:

а) ноль человек;

б) только один человек;

в) менее двух человек;

г) минимум три человека.

9.   На 1 января 1996 г. численность беженцев в Ростовской области составила 32 412 чел. При общей численности наличного населения 4 425 400 чел. В Краснодарском крае на 5 043 900 чел. Наличного населения приходилось 30 423 беженца. На уровне значимости а = 0,05 ответьте на вопрос: «Объясняется ли более высокий удельный вес беженцев в общей численности населения в Ростовской области в сравнении с Краснодарским краем случайными факторами или имеет смысл поиск факторов, обусловивших это явление?»

 10.   Из студентов 4-го курса из факультетов университета отобраны случайным образом 10 студентов и посчитаны средние оценки, полученные ими на 1-м (Х) и 4-м (Y) курсе. Получены следующие результаты:

  Полагая, что между Y и Х имеет место линейная зависимость, определите выборочное уравнение линейной регрессии и объясните смысл полученных коэффициентов. Каковы значимость коэффициента корреляции, направление и теснота связи между показателями Y и Х, если уровень значимости принять равным 0,05? 

1.   При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что они нечётные и разные. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

2.   В двух ящиках находятся радиолампы. В первом ящике 12 ламп, из них одна нестандартная. Во втором ящике 10, из них две нестандартные. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Какова вероятность того, что наудачу извлечённая из второго ящика лампа будет нестандартной?

3.   В первом ящике 2 голубых и 6 красных носков, во втором 4 голубых и 2 красных. Из первого наудачу переложили 2 носка во второй, после чего из второго наудачу достали 1 носок. Какова вероятность того, что этот носок голубой?

4.   Пусть вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41 размера, равна 0,25. Какова вероятность того, что из 6 покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41 размера?

5.   При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Какова вероятность того, что среди 900 клемм: а) окажется от 790 до 820 (включительно) годных; б) ровно 700 годных?

6.   Рассмотрим несколько различных операций (Q1 Q2, Q3) со случайным доходом. Вычислите для всех операций ожидаемый доход Q, СКО г. Нанесите эти характеристики  на единый рисунок, получив графическое изображение операции. С помощью взвешивающей формулы E(Q, г) = 5Q - г найдите лучшую и худшую операции.

7.   В брокерской конторе для стимулирования прибыльности торговли по отношению к сотрудникам применяется система премий. В соответствии с этой системой сотрудник, не достигающий установленного дневного уровня прибыли на протяжении более трех дней за две недели (10 рабочих дней), теряет свою премию за этот двухнедельный период. Если вероятность того, что сотрудник не выполнит требуемую норму прибыли, равна 0,15, найдите, сколько премий будет потеряно 100 сотрудниками за 50-недельный год? Какие предположения вы делали при нахождении ответа? Соответствует ли это действительности?

8.    Пациентки поступают случайным образом в родильное отделение клиники Св. Иосифа с частотой 6 человек в час. Какова вероятность того, что в течение получаса:

а) не поступит никто;

б) поступит менее двух пациенток;

в) поступит более трех пациенток.

9.   В 1995 г. в Ростовской области обследовано 12 промышленных предприятий и 14 строительных (подрядных) организаций. Средняя балансовая прибыль промышленных предприятий оказалась равной 25 ∙107 руб., а строительных организаций – 12 ∙108 руб. исправленная выборочная дисперсия прибыли промышленных предприятий составила 64 ∙1016 руб. 2 , строительных организаций - 16 ∙1016 руб. 2 . На уровне значимости а = 0,01 определите, являются ли различия в результатах финансовой деятельности промышленных предприятий и строительных организаций случайными.

 10.     Имеются выборочные данные о глубине вспашки полей под озимые культуры (Х, см) и их урожайности (Y, ц/га):  

  При а = 0,05 установить значимость статистической связи между признаками Х и Y. Если признаки коррелируют, постройте уравнение регрессии и объясните его смысл. Сделайте прогноз урожайности пшеницы при глубине вспашки 22 см.